Title: Terminale / Maths / Chapitre 05 limites de suites

Une suite (u_n) a pour limite l quand n tend vers +∞ lorsque tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

Q: Si (u_n) a pour limite l, on dit que la suite (u_n) est [...]ente et [...] vers [...].
A: converg; converge; l

Q: La limite d'une suite (u_n) convergente est [...].
On note [...].
A: unique; \(\lim_{n \to +\infty} u_n = l\)

Q: \(\lim_{n \to +\infty} {1 \over n^k} =\) [...] où k est un entier naturel non nul
A: 0

Q: \(\lim_{n \to +\infty} {1 \over \sqrt n} =\) [...]
A: 0

Q: Une suite qui n'est pas [...] est dite [...].
A: convergente; divergente

Une suite (u_n) tend vers +∞ lorsque tout intervalle de la forme ]A ; +∞[ contient tous les termes de la suite (u_n) à partir d'un certain rang.
On note alors \(\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty\).

Une suite (u_n) tend vers -∞ lorsque tout intervalle de la forme ]-∞ ; A[ contient tous les termes de la suite (u_n) à partir d'un certain rang.
On note alors \(\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty\).

Q: \(\lim_{n \to +\infty} n^k =\) [...] où k est un entier naturel non nul
A: +∞

Q: \(\lim_{n \to +\infty} \sqrt n =\) [...]
A: +∞

Q: lim u_n = +∞, lim v_n = +∞ => lim u_n + v_n = [...]
A: +∞

Q: lim u_n = -∞, lim v_n = -∞ => lim u_n + v_n = [...]
A: -∞

Q: lim u_n = +∞, lim v_n = -∞ => lim u_n + v_n = [...]
A: f.i.

Q: lim u_n = l > 0, lim v_n = +∞ => lim u_n × v_n = [...]
A: +∞

Q: lim u_n = l < 0, lim v_n = +∞ => lim u_n × v_n = [...]
A: -∞

Q: lim u_n = l > 0, lim v_n = -∞ => lim u_n × v_n = [...]
A: -∞

Q: lim u_n = l < 0, lim v_n = -∞ => lim u_n × v_n = [...]
A: +∞

Q: lim u_n = +∞, lim v_n = +∞ => lim u_n × v_n = [...]
A: +∞

Q: lim u_n = +∞, lim v_n = -∞ => lim u_n × v_n = [...]
A: -∞

Q: lim u_n = -∞, lim v_n = +∞ => lim u_n × v_n = [...]
A: -∞

Q: lim u_n = -∞, lim v_n = -∞ => lim u_n × v_n = [...]
A: +∞

Q: lim u_n = 0, lim v_n = +∞ => lim u_n × v_n = [...]
A: f.i.

Q: lim u_n = 0, lim v_n = -∞ => lim u_n × v_n = [...]
A: f.i.

Q: lim u_n = l > 0, lim v_n = 0^+ => lim u_n ÷ v_n = [...]
A: +∞

Q: lim u_n = l > 0, lim v_n = 0^- => lim u_n ÷ v_n = [...]
A: -∞

Q: lim u_n = l < 0, lim v_n = 0^+ => lim u_n ÷ v_n = [...]
A: -∞

Q: lim u_n = l < 0, lim v_n = 0^- => lim u_n ÷ v_n = [...]
A: +∞

Q: lim u_n = 0, lim v_n = 0 => lim u_n ÷ v_n = [...]
A: f.i.

Q: lim u_n = l, lim v_n = +∞ => lim u_n ÷ v_n = [...]
A: 0

Q: lim u_n = l, lim v_n = -∞ => lim u_n ÷ v_n = [...]
A: 0

Q: lim u_n = +∞, lim v_n = +∞ => lim u_n ÷ v_n = [...]
A: f.i.

Q: lim u_n = +∞, lim v_n = -∞ => lim u_n ÷ v_n = [...]
A: f.i.

Q: lim u_n = -∞, lim v_n = +∞ => lim u_n ÷ v_n = [...]
A: f.i.

Q: lim u_n = -∞, lim v_n = -∞ => lim u_n ÷ v_n = [...]
A: f.i.

Q: lim u_n = +∞, lim v_n = l > 0 => lim u_n ÷ v_n = [...]
A: +∞

Q: lim u_n = +∞, lim v_n = l < 0 => lim u_n ÷ v_n = [...]
A: -∞

Q: lim u_n = -∞, lim v_n = l > 0 => lim u_n ÷ v_n = [...]
A: -∞

Q: lim u_n = -∞, lim v_n = l < 0 => lim u_n ÷ v_n = [...]
A: +∞

Q: lim u_n = +∞, lim v_n = 0^+ => lim u_n ÷ v_n = [...]
A: +∞

Q: lim u_n = +∞, lim v_n = 0^- => lim u_n ÷ v_n = [...]
A: -∞

Q: lim u_n = -∞, lim v_n = 0^+ => lim u_n ÷ v_n = [...]
A: -∞

Q: lim u_n = -∞, lim v_n = 0^- => lim u_n ÷ v_n = [...]
A: +∞

Si à partir d'un certain rang, u_n ≤ v_n et si lim u_n = +∞, alors lim v_n = +∞.

Si à partir d'un certain rang, u_n ≤ v_n et si lim v_n = -∞, alors lim u_n = -∞.

Si à partir d'un certain rang, u_n ≤ v_n et si lim u_n = l et lim v_n = l', alors l < l'.

Si à partir d'un certain rang, u_n ≤ v_n ≤ w_n et si lim u_n = lim w_n = l, alors lim v_n = l (théorème des gendarmes).

Si q ≤ -1, alors la suite (q^n) diverge et n'admet pas de limite.

Q: Si [... q ...], alors la suite (q^n) [...]verge vers [...].
A: -1 < q < 1; con; 0

Q: Si [... q ...], alors la suite (q^n) [...]verge vers [...].
A: q = 1; con; 1

Q: Si [... q ...], alors la suite (q^n) [...]verge vers [...].
A: q > 1; di; +∞

Q: Si la suite (u_n) est c[...] et converge vers l, alors ∀n∈ℕ, u_n [...].
A: roissante; ≤ l

Q: Si la suite (u_n) est d[...] et converge vers l, alors ∀n∈ℕ, u_n [...].
A: écroissante; ≥ l

Q: Toute suite c[...] et [...] [...].
A: roissante; majorée; converge

Q: Toute suite d[...] et [...] [...].
A: écroissante; minorée; converge

Q: Toute suite [...] et [...] [...].
A: croissante; non majorée; diverge vers +∞

Q: Toute suite [...] et [...] [...].
A: décroissante; non minorée; diverge vers -∞

posons lim u_n = l d'où lim u_n+1 = l
de plus, ∀n∈ℕ, u_n+1 = ½ u_n + 2
d'où lim u_n+1 = lim ½ u_n + 2 = ½ l + 2
ainsi, par unicité de la limite, l est solution de l'équation l = ½ l + 2

Q: Si à partir d'un certain rang, [...] ≤ [...] et si lim u_n = +∞, alors lim v_n = +∞.
A: u_n; v_n

Q: Si à partir d'un certain rang, [...] ≤ [...] et si lim u_n = -∞, alors lim v_n = -∞.
A: v_n; u_n

la suite (u_n) converge vers 0 et 0 ∈ ]-0,1 ; 0,1[
d'où, par définition, tous les termes de la suite (u_n) appartiennent à l'intervalle ]-0,1 ; 0,1[ à partir d'un certain rang
ainsi l'algorithme se termine et ...